-->

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên phiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 15 mon 11 năm 2004Hạng Của Ma TrậnCùng cùng với định thức, ma trận (đặc biệt là hạng của ma trận) là những công nỗ lực cơ bạn dạng để giải quyếtcác bài toán về hệ phương trình con đường tính nói riêng cùng đại số đường tính nói chung.

Bạn đang xem: Hạng của ma trận là gì

Bài viếtnày sẽ trình làng định nghĩa, các đặc điểm cơ phiên bản của hạng ma trận, cùng hai phương thức cơbản nhằm tính hạng của ma trận.1 Định nghĩa và các đặc điểm cơ bảnTrước hết, buộc phải nhớ lại tư tưởng định thức nhỏ cấp k của một ma trận. Mang đến A là ma trậncấp m × n; k là số thoải mái và tự nhiên 1 ≤ k ≤ minm, n. Chọn ra k dòng, k cột bất kỳ của A. Các phầntử trực thuộc giao của k dòng, k cột này chế tạo thành ma trận vuông cấp cho k, điện thoại tư vấn là ma trận bé cấp kcủa ma trận A. Định thức của ma trận con cấp k này gọi là 1 định thức con cấp k của A.1.1 Định nghĩa hạng của ma trậnCho A là ma trận cấp m × n không giống không.Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ minm, n thỏa mãn các điều kiện sau:1. Tồn tại ít nhất một định thức bé cấp r của ma trận A không giống 0.2. Hầu như định thức nhỏ cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.Nói phương pháp khác, hạng của ma trận A = O đó là cấp tối đa của các định thức nhỏ kháckhông của ma trận A.Hạng của ma trận A cam kết hiệu là r(A) hoặc rank(A).Qui ước: hạng của ma trận không O là 0.1.2 Các đặc thù cơ bản về hạng của ma trận1.2.1 đặc thù 1Hạng của ma trận không thay đổi qua phép đưa vị, có nghĩa là rank At= rank A.11.2.2 đặc điểm 2Nếu A là ma trận vuông cung cấp n thìrank A = n ⇐⇒ det A = 0rank A Nếu xẩy ra trường hòa hợp đầu, ta nói A là ma trận vuông ko suy biến. Nếu xảy ra trườnghợp lắp thêm hai, ta nói A là ma trận vuông suy biến.1.2.3 tính chất 3Nếu A, B là các ma trận cùng cấp cho thìrank(A + B) ≤ rank A + rank B1.2.4 đặc điểm 4Cho A, B là những ma trận thế nào cho tồn trên tích AB. Khi đó1. Rank(AB) ≤ minrank A, rank B2. Ví như A là ma trận vuông ko suy phát triển thành thì rank(AB) = rank B.2 tra cứu hạng của ma trận bằng cách thức định thức2.1Từ định nghĩa hạng của ma trận ta rất có thể suy ra ngay thuật toán sau đây để tìm hạngcủa ma trận A cung cấp m × n (A = O)Bước 1Tìm một định thức nhỏ cấp k khác 0 của A. Số k càng béo càng tốt. đưa sử định thức concấp k không giống không là Dk.Bước 2Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A đựng định thức Dk. Xẩy ra 3 năng lực sau1. Không có một định thức nhỏ cấp k + 1 như thế nào của A. Tài năng này xẩy ra khi còn chỉ khik = minm, n. Lúc đó rank A = k = minm, n. Thuật toán kết thúc.2. Tất cả các định thức bé cấp k + 1 của A cất định thức bé Dkđều bởi 0. Lúc đórank A = k. Thuật toán kết thúc.3. Sống thọ một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1chứa định thức nhỏ Dkkhác 0. Khiđó tái diễn bước 2 cùng với Dk+1thay mang lại Dk. Và cứ tiếp tục như vậy cho tới khi xẩy ra trườnghợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc.22.2 Ví dụTìm hạng của ma trậnA =1 2 2 1 4−1 1 1 1 31 3 3 2 22 1 1 0 1GiảiĐầu tiên ta thấy A bao gồm định thức nhỏ cấp 2, D2=1 2−1 1= 3 = 0 (Định thức này đượctạo thành bởi vì 2 dòng đầu, 2 cột đầu của A)Xét những định thức nhỏ cấp 3 của A cất D2, ta thấy tất cả định thức nhỏ cấp 3 không giống 0. Đó làđịnh thứcD3=1 2 1−1 1 11 3 2= 1 = 0(Định thức này được thành bởi các dòng 1, 2, 3, những cột 1, 2, 4 của A)Tiếp tục, xét những định thức bé cấp 4 của A cất D3. Có toàn bộ 2 định thức như vậy, kia làD4,1=1 2 2 1−1 1 1 11 3 3 22 1 1 0vàD4,2=1 2 1 4−1 1 1 31 3 2 22 1 0 1Cả 2 định thức này đều bởi 0. Cho nên vì vậy rank A = 3.Chú ý. Rất có thể nhận xét cái (4) của ma trận A là tổng hợp tuyến tính của dòng (1) vàdòng (2); cái (4) = cái (1) - chiếc (2), nên tiện lợi thấy được D4,1= 0, D4,2= 0.Việc search hạng của ma trận bằng định thức như bên trên phải giám sát và đo lường khá tinh vi nên trongthực tế người ta ít sử dụng mà bạn ta thường xuyên sử dụng phương pháp tìm hạng của ma trậnbằng những phép chuyển đổi sơ cấp cho sau đây.3 search hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng cácphép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)Trước lúc giới thiệu phương pháp này, ta nên nhớ lại một trong những khái niệm sau3.1 Ma trận bậc thang3.1.1 Định nghĩaMa trận A cấp m × n khác không gọi là một trong những ma trận cầu thang nếu trường thọ số tự nhiên r,1 ≤ r ≤ minm, n thỏa những điều kiện sau:31. R cái đầu của A không giống không. Các dòng từ sản phẩm r + 1 trở đi (nếu có) đều bởi 0.2. Xét chiếc thứ k với 1 ≤ k ≤ r. Ví như (A)kiklà bộ phận đầu tiên bên trái (tính từ bỏ trái sangphải) khác 0 của cái k thì ta phải gồm i12r.Các bộ phận (A)kikgọi là các bộ phận được đánh dấu của ma trận A. Những cột đựng cácphần tử được khắc ghi (các cột i1, i2, . . . , ir) gọi là cột ghi lại của ma trận A. Như vậy,điều kiện (2) có thể phát biểu lại như sau: nếu đi từ chiếc trên xuống bên dưới thì các bộ phận đánhdấu nên lùi dần dần về phía phải. Và như vậy, ma trận bậc thang bao gồm dạng như sau:i1i2irA =0 . . . 0 (A)∗1 i1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 0 .

Xem thêm: " Biến Đi Tiếng Anh Là Gì ? Sưu Tầm Những Câu Chửi Thề Bằng Tiếng Anh

. . 0 (A)∗2 i2. . . . . . . . . . . .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (A)∗r ir· · ·0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . 0 . . . . . . 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . 0 . . . . . . 0(1)(2)(r)(r + 1)(m)Ta gồm nhận xét quan trọng sau:Nếu A là ma trận bậc thang thì số r vào định nghĩa đó là rank A.Thật vậy, hoàn toàn có thể chỉ ra một định thức bé cấp r của A không giống 0 đó là định thức Drtạobởi r chiếc đầu với r cột lưu lại i1, i2, . . . , ir.Dr=(A)1 i1· · · · · · · · ·0 (A)2 i2· · · · · ·............0 0 · · · (A)r ir= (A)1 i1(A)2 i2. . . (A)r ir= 0Ngoài ra, các định thức nhỏ cấp r + 1 của A gần như tạo vì chưng r + 1 loại nào đó nên bao gồm ít nhấtmột dòng bằng không. Vị đó, bọn chúng đều bởi 0.3.1.2 ví dụ về những ma trận bậc thangA =0 1∗2 0 0 3 4 00 0 0 3∗4 −1 0 00 0 0 0 1∗0 0 00 0 0 0 0 0 2∗30 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0B =1∗0 0 0 0 0 00 −1∗2 0 0 3 40 0 0 0 3∗0 00 0 0 0 0 4∗10 0 0 0 0 0 5∗Các ma trận A, B phần lớn là các ma trận bậc thang, cùng ta có rank A = 4 (bằng số dòng kháckhông của A), rank B = 5 (bằng số dòng khác không của B).43.2 Phép đổi khác sơ cung cấp trên ma trậnBa phép biến hóa sau hotline là phép đổi khác sơ cung cấp trên các dòng của ma trận:1. Đổi chỗ 2 dòng cho nhau.2. Nhân một loại cho một vài khác 0.3. Nhân một cái cho một số ngẫu nhiên rồi cộng vào trong dòng khác.Tương tự, bằng cách thay loại thành cột, ta gồm 3 phép đổi khác sơ cấp trên những cột củama trận.3.3 kiếm tìm hạng của ma trận bằng phương thức sử dụng những phép biếnđổi sơ cấpNội dung của cách thức này dựa vào hai thừa nhận xét khá dễ dàng sau1. Các phép chuyển đổi sơ cung cấp không làm chuyển đổi hạng của ma trận.2. Một ma trận không giống O bất kỳ đều có thể đưa về dạng bậc thang sau một số hữu hạn cácphép chuyển đổi sơ cấp cho trên dòng.Như vậy, muốn tìm hạng của ma trận A, ta dùng những phép thay đổi sơ cấp để mang A vềdạng bậc thang, vì chưng nhận xét (1), hạng của A bởi hạng của ma trận bậc thang, cùng ta đã biếthạng của ma trận bậc thang chính thông qua số dòng không giống không của nó.Cần để ý bạn gọi rằng: khả năng đưa một ma trận về dạng cầu thang bằng các phép biếnđổi sơ cung cấp là một tài năng cơ bản, nó quan trọng không chỉ trong việc tìm kiếm hạng của ma trận màcòn đề nghị để giải nhiều việc khác của Đại số con đường tính.Sau đây, công ty chúng tôi xin giới thiệu một thuật toán để lấy một ma trận về dạng cầu thang bằngcác phép thay đổi sơ cấp:Xét ma trậnA =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n............am1am2· · · amn3.3.1 bước 1Bằng bí quyết đổi chỗ 2 dòng cho nhau (nếu cần), ta luôn có thể giả sử a11= 0.Nhân mẫu (1) với −a21a11, cộng vào dòng (2),Nhân dòng (1) với −a31a11, cộng vào dòng xoáy (3),...Nhân chiếc (1) với −an1a11, cộng vào dòng (n).Ta cảm nhận ma trận5