Trong đại số đường tính, hạng (rank) của một ma trận A là số chiều của không khí vectơ được sinh (span) bởi các vectơ cột của nó.

Bạn đang xem: Đại số tuyến tính là gì

<1> Điều này tương tự với số cột độc lập tuyến tính tối đa của A, cùng như vậy, cũng chính là số chiều của không khí vectơ sinh bởi các hàng của ma trận trên.<2> bởi vì vậy hạng là một trong con số chỉ sự “không suy biến” của hệ phương trình con đường tính cùng phép đổi khác tuyến tính được biểu diễn bởi A. Còn có rất nhiều định nghĩa tương đuơng không giống của định nghĩa hạng. Hạng của một ma trận là một trong những thuộc tính cơ bạn dạng nhất của nó.

Hạng của A thường được cam kết hiệu là rank(A) tuyệt rk(A), r(A); hoặc nhiều lúc cũng hoàn toàn có thể viết không tồn tại dấu ngoặc như sau, rank A.


Mục lục


1 Định nghĩa2 Ví dụ3 giám sát hạng của ma trận

Định nghĩa

Trong mục này, chúng ta đưa ra một trong những định nghĩa về hạng của một ma trận.

Hạng cột (column rank) của A là số chiều của không gian cột của A, trong những khi đó hạng hàng (row rank) của A là số chiều của không quầy hàng của A (hoặc, sẽ là số hàng chưa hẳn là sản phẩm zero của ma trận bậc thang rút gọn gàng Ar).

Một kết quả quan trọng vào đại số tuyến tính kia là, hạng cột và hạng hàng luôn luôn bởi nhau. Giá trị các hạng này dễ dàng được đồng bộ gọi là hạng của A.

Một ma trận được gọi là bao gồm hạng đầy đủ trường hợp hạng của nó bằng số hạng mập nhất rất có thể của một ma trận có cùng kích thước, và chính là cái nhỏ tuổi hơn trong hai quý hiếm số hàng cùng số cột của A. Ngược lại, một ma trận được điện thoại tư vấn là thiếu hạng trường hợp nó không có hạng đầy đủ.

Hạng cũng là số chiều của ko gian ảnh của biến đổi tuyến tính được cho vị phép nhân cùng với ma trận A.

Tổng quát hơn, giả dụ một toán tử tuyến tính

Φ displaystyle Phi

*
bên trên một không khí vectơ (có thể vô hạn chiều) có hình ảnh có số chiều hữu hạn (ví dụ một toán tử hữu hạn hạng), thì hạng của toán tử được có mang là số chiều của ảnh:<3><4><5><6>

rank ⁡ ( Φ ) := dim ⁡ ( img ⁡ ( Φ ) ) displaystyle operatorname rank (Phi ):=dim(operatorname img (Phi ))

*
trong đó

dim displaystyle dim

*
là số chiều của không gian vectơ, còn

img displaystyle operatorname img

*
là ảnh của ánh xạ (toán tử).

Ví dụ

Ma trận sau đây

< 1 1 − 2 − 3 1 3 3 > displaystyle beginbmatrix1&0&1-2&-3&13&3&0endbmatrix

*
có hạng bởi 2: cũng chính vì hai cột thứ nhất của nó là chủ quyền tuyến tính, vì thế hạng tối thiểu là 2, nhưng vì cột thứ ba là một trong tổ hợp tuyến đường tính của nhì cột đầu (nó là cột lắp thêm hai trừ đi cột đồ vật nhất), bố cột này là phụ thuộc tuyến tính, chính vì như vậy hạng phải nhỏ dại hơn 3.

Ma trận

A = < 1 1 2 − 1 − 1 − 2 > displaystyle A=beginbmatrix1&1&0&2-1&-1&0&-2endbmatrix

*
có hạng bởi 1: có những cột khác không, bởi vậy hạng là một số trong những dương, nhưng ngẫu nhiên cặp cột nào cũng dựa vào tuyến tính. Tương tự, chuyển vị của nó

A T = < 1 − 1 1 − 1 2 − 2 > displaystyle A^mathrm T =beginbmatrix1&-11&-1&02&-2endbmatrix

*
cũng bao gồm rank bởi 1.

Thật vậy, vì những vectơ cột của A là những vectơ mặt hàng của gửi vị của A, tự mệnh đề rằng hạng cột của một ma trận bằng hạng hàng ta gồm mệnh đề tương tự rằng hạng của một ma trận bằng hạng của chuyển vị của nó, rank(A) = rank(AT).

Một số lấy ví dụ khác

A = < 2 3 1 8 3 2 − 1 9 > ⇒ r ( A ) = 3 displaystyle A=leftRightarrow r(A)=3

*
Rightarrow r(A)=3}" title="Hạng (đại số tuyến tính) là gì? cụ thể về Hạng (đại số đường tính) tiên tiến nhất 2021 47"> B = < 1 3 3 1 5 > ⇒ r ( B ) = 2 displaystyle B=leftRightarrow r(B)=2
*
Rightarrow r(B)=2}" title="Hạng (đại số tuyến tính) là gì? cụ thể về Hạng (đại số đường tính) mới nhất 2021 48">

Tính toán hạng của ma trận

Đưa về dạng mặt hàng bậc thang


Một giải pháp tiếp cận thông dụng nhằm tìm hạng của một ma trận là gửi nó về một dạng dễ dàng hơn, thường xuyên là dạng hàng cầu thang rút gọn, bằng những phép chuyển đổi hàng sơ cấp. Các phép chuyển đổi hàng không làm biến hóa không quầy bán hàng (vì ráng không làm biến hóa hạng hàng), và do tính khả nghịch, bọn chúng ánh xạ không khí cột tới một không gian đẳng cấu (vì thay cũng ko làm biến đổi hạng cột). Một lúc đã mang lại dạng bậc thang rút gọn, hạng của cột cùng hàng cụ thể là như nhau, và bởi số thành phần chính (pivot) tuyệt số cột chính, cũng là số sản phẩm khác zero.

Ví dụ, ma trận A được đến bởi

A = < 1 2 1 − 2 − 3 1 3 5 > displaystyle A=beginbmatrix1&2&1-2&-3&13&5&0endbmatrix

*
có thể được đem về dạng hàng bậc thang rút gọn bởi dãy những phép đổi khác sơ cung cấp trên hàng sau:

< 1 2 1 − 2 − 3 1 3 5 > → 2 h 1 + h 2 → h 2 < 1 2 1 1 3 3 5 > → − 3 h 1 + h 3 → h 3 < 1 2 1 1 3 − 1 − 3 > → h 2 + h 3 → h 3 < 1 2 1 1 3 > → − 2 h 2 + h 1 → h 1 < 1 − 5 1 3 > displaystyle beginbmatrix1&2&1-2&-3&13&5&0endbmatrixxrightarrow 2h_1+h_2rightarrow h_2 beginbmatrix1&2&1&1&33&5&0endbmatrixxrightarrow -3h_1+h_3rightarrow h_3 beginbmatrix1&2&1&1&3&-1&-3endbmatrixxrightarrow h_2+h_3rightarrow h_3 beginbmatrix1&2&1&1&3&0&0endbmatrixxrightarrow -2h_2+h_1rightarrow h_1 beginbmatrix1&0&-5&1&3&0&0endbmatrix

*
.Ma trận sau cuối đã được mang về dạng hàng lan can rút gọn gồm hai sản phẩm khác zero và vì vậy rank của ma trận A là 2.

Tính toán

Khi áp dụng cho các đo lường với vệt phẩy động trên máy tính trong thời gian thực, sử dụng phương pháp khử Gauss (phân tích LU) hoàn toàn có thể không hiệu quả, và rứa vào kia nên sử dụng một thuật toán so sánh tìm hạng. Một cách thức thay thế kết quả là phép phân tích cực hiếm suy vươn lên là (Singular value decomposition tuyệt SVD) , nhưng cũng có các phương pháp ít tốn hèn hơn, như phân tích QR gồm chọn phần tử chính (vì cầm được call là phân tích tìm hạng QR), vẫn mạnh khỏe hơn về mặt thống kê giám sát số học so cùng với phép khử Gauss. Việc xác minh hạng bằng số yêu cầu một tiêu chuẩn để quyết định bao giờ một quý hiếm (chẳng hạn như một cực hiếm suy biến đổi từ SVD) thì nên được coi là bằng 0, một chắt lọc thực tế phụ thuộc vào cả ma trận và mục đích ứng dụng.

Chứng minh hạng hàng bởi hạng cột

Một hiệu quả cơ phiên bản trong đại số con đường tính sẽ là hạng hàng cùng hạng cột của một ma trận là đồng điệu với nhau. Tất cả nhiều chứng minh đã được gửi ra. Một trong các những minh chứng đơn giản nhất đã có phác vào mục trên. Sau đấy là một biến chuyển thể của cách chứng minh này:

Dễ đã cho thấy rằng triển khai các phép biến đổi hàng sơ cấp không làm chuyển đổi cả hạng hàng và hạng cột. Chính vì phép khử Gauss chính là thực hiện những phép đổi khác hàng sơ cấp, dạng hàng cầu thang rút gọn của ma trận có cùng hạng hàng với hạng cột cùng với ma trận ban đầu. Thường xuyên thực hiện các đổi khác sơ cấp trên cột để đưa ma trận về dạng một ma trận solo vị có thể với những hàng với cột toàn số 0 sống xung quanh. Một lượt nữa, thao tác này không làm thay đổi hạng hàng xuất xắc hạng cột. Ta thấy ngay hạng hàng cùng hạng cột của ma trận công dụng này đều bằng nhau và bởi số thành phần khác 0 trong nó.

Xem thêm: Bật Mí 3 Cách Tính Tháng Sinh Con Trai Chuẩn Xác Nhất Hiện Nay!

Sau đây trình diễn hai minh chứng khác của tác dụng này. Chứng minh thứ nhất thực hiện các đặc điểm cơ bạn dạng của tổng hợp tuyến tính của những vectơ, và vẫn đúng với ngôi trường bất kỳ. Chứng tỏ này dựa trên Wardlaw (2005).<7> minh chứng thứ hai áp dụng tính trực giao cùng vẫn đúng cùng với ma trận trên trường số thực; dựa trên Mackiw (1995).<2> Cả hai chứng tỏ có vào sách của Banerjee và Roy (2014).<8>

Chứng minh sử dụng tổng hợp tuyến tính

Chứng minh áp dụng tính trực giao

Cho A là một trong những ma trận m × n cùng với các phần tử là số thực cùng với hạng sản phẩm là r. Vì đó, số chiều của không gian hàng của A là r. Gọi x1, x2, …, xr là một trong những cơ sở của không gian hàng của A. Ta khẳng định rằng các vectơ Ax1, Ax2, …, Axr là tự do tuyến tính. Để triệu chứng tỏ, xét một tương tác đồng nhất đường tính với những vectơ bên trên với những hệ số vô phía c1, c2, …, cr:

= c 1 A x 1 + c 2 A x 2 + ⋯ + c r A x r = A ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c r x r ) = A v , displaystyle 0=c_1Amathbf x _1+c_2Amathbf x _2+cdots +c_rAmathbf x _r=Aleft(c_1mathbf x _1+c_2mathbf x _2+cdots +c_rmathbf x _rright)=Amathbf v ,

*
trong đó v
= c1x1 + c2x2 + ⋯ + crxr. Ta quan sát rằng: (a) v là một trong những tổ hợp đường tính của những vectơ vào không quầy bán hàng của A, suy ra v ở trong không quầy hàng của A, với (b) vì chưng Av = , vectơ v trực giao với đa số vectơ mặt hàng của A và, bởi vì vậy, cũng trực giao với tổng thể các vectơ vào không quầy hàng của A. Từ bỏ (a) cùng (b) ta suy ra v trực giao với chủ yếu nó, điều này dẫn mang lại v = giỏi là, theo quan niệm của v,

c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c r x r = 0. displaystyle c_1mathbf x _1+c_2mathbf x _2+cdots +c_rmathbf x _r=0.

*
Nhưng đừng quên x
i được lựa chọn là những vectơ đại lý của không quầy hàng của A và vị vậy độc lập tuyến tính. Suy ra c1 = c2 = ⋯ = cr = 0. Vậy Ax1, Ax2, …, Axr cũng độc lập tuyến tính.

Đến đây, ta thấy từng vectơ Axi phân minh là thuộc không khí cột của A. Bởi vì thế, Ax1, Ax2, …, Axr là 1 tập hợp r vectơ hòa bình tuyến tính trong không gian cột của A, suy ra số chiều của không khí cột của A (hay hạng cột của A) phải tối thiểu bằng r. Điều này cho thấy thêm hạng sản phẩm của A không to hơn hạng cột của A. Bây giờ áp dụng công dụng này với đưa vị của A để được bất đẳng thức chiều trái lại và chấm dứt như chứng minh trước.

Các tư tưởng khác

Trong toàn bộ các định nghĩa dưới đây, ma trận A được coi là có form size m × n bên trên một trường ngẫu nhiên F.

Số chiều của ảnh

Cho ma trận A, nó là biểu diễn của một ánh xạ tuyến tính

f : F n → F m displaystyle f:F^nto F^m

*
được có mang bởi

f ( x ) = A x displaystyle f(mathbf x )=Amathbf x

*
.Hạng của A được tư tưởng là số chiều của hình ảnh của f. Định nghĩa này còn có một điểm mạnh là nó có thể áp dụng cho bất kỳ một ánh xạ tuyến tính nào cơ mà không cần phải có ma trận thay đổi cụ thể.

Hạng và số chiều của hạt nhân

Cho chuyển đổi tuyến tính f như trên, hạng là n trừ đi số chiều của hạt nhân của f (số vô hiệu). Từ bỏ định lý về hạng với số vô hiệu hóa ta suy ra khái niệm này là tương tự với định nghĩa trên.

Hạng cột – số chiều của không gian cột

Hạng của ma trận A là số những cột độc lập tuyến tính c1, c2, …, ck tối đa của A; đây đó là số chiều của không khí cột của A (không gian cột là một không gian con của Fm được sinh bởi những vectơ cột của A, mà đó cũng chính là ảnh của ánh xạ tuyến tính f liên hệ với A).

Hạng mặt hàng – số chiều của không gian hàng

Hạng của ma trận A là số những hàng tự do tuyến tính tối đa của A; đây là số chiều của không quầy bán hàng của A.

Phân tích hạng

Hạng của A là số nguyên nhỏ nhất k thế nào cho A có thể được so với dưới dạng

A = C R displaystyle A=CR

*
, trong các số ấy C là 1 trong ma trận m × k và R là ma trận k × n. Thiệt vậy, với đa số số nguyên k, đầy đủ điều sau đây là tương đương:

( 1 ) ⇔ ( 2 ) ⇔ ( 3 ) ⇔ ( 4 ) ⇔ ( 5 ) displaystyle (1)Leftrightarrow (2)Leftrightarrow (3)Leftrightarrow (4)Leftrightarrow (5)

*
(xem phần trên)

hạng cột của A bé dại hơn hoặc bởi k,Tồn tại k cột c
1, …, ck khuôn khổ m sao cho mỗi cột của A là 1 trong tổ hợp tuyến tính của c1, …, ck,tồn tại một ma trận C cỡ m × k với một ma trận R kích cỡ k × n sao để cho A = CR (nếu k là hạng, tích này hotline là đối chiếu hạng của A),tồn tại k sản phẩm r1, …, rk kích thước n sao cho mỗi hàng của A là 1 tổ hợp tuyến đường tính của r1, …, rk,hạng mặt hàng của A bé dại hơn hoặc bởi k.

Để chứng minh mệnh đề (3) tự mệnh đề (2), lựa chọn C là ma trận có những cột là c1, …, ck từ (2). Để chứng tỏ (2) trường đoản cú (3), chọn c1, …, ck là những cột của C.

Từ sự tương đương

( 1 ) ⇔ ( 5 ) displaystyle (1)Leftrightarrow (5)

*
suy ra hạng hàng bằng hạng cột.

Hạng theo quý hiếm suy biến

Hạng của A thông qua số giá trị suy trở nên khác 0, cũng chính là số bộ phận khác 0 bên trên đường chéo của Σ trong phép phân tích quý giá riêng

A = U Σ V ∗ displaystyle A=USigma V^*

*
.

Hạng theo định thức – form size của định thức con khác 0 phệ nhất

Hạng của A là bậc lớn số 1 trong bất kỳ các định thức bé trong A. (Bậc của một định thức bé là kích cỡ của ma trận vuông bé mà nó là định thức.) y hệt như cách quan niệm theo phân tích hạng, tư tưởng này cấm đoán một cách hiệu quả để thực hiện tính hạng của ma trận, tuy nhiên lại có lợi về mặt lý thuyết: bậc của một định thức con đối kháng có cận dưới chính là hạng của ma trận, điều này hoàn toàn có thể hữu ích, lấy một ví dụ trong việc chứng minh rằng một trong những phép toán không có tác dụng hạng của ma trận bớt đi.

Ma trận đựng một định thức nhỏ bậc p khác 0 (của ma trận con cỡ p × p với định thức khác 0) cho thấy thêm các hàng với cột của ma trận con đó là hòa bình tuyến tính, và do đó những hàng và cột đó của ma trận đầy đủ là hòa bình tuyến tính, vày vậy hạng cột cùng hạng hàng tối thiểu là bởi hạng theo định thức. Mặc dù nhiên, điều trái lại không dễ chứng tỏ. Để hiểu rõ sự tương đương giữa hạng theo định thức với hạng cột ta yêu cầu làm khỏe khoắn hơn mệnh đề rằng trường hợp span của n vectơ tất cả số chiều p, thì chỉ cần p trong số n các vectơ ấy nhằm sinh không gian đó (một phương pháp tương đương, ta xác định rằng ta có thể lựa chọn 1 hệ sinh là một trong những tập vừa lòng con của những vectơ): từ vấn đề này suy ra rằng một tập vừa lòng con của các hàng cùng một tập hòa hợp con của những cột đồng thời xác định một ma trận bé khả nghịch (hay rất có thể nói, nếu như span của n vectơ tất cả số chiều p, thì phường vectơ trong những các vectơ ấy cũng rất có thể sinh ra không gian đó và tồn trên một tập thích hợp gồm p tọa độ nhưng chúng hòa bình tuyến tính).